贴现率与客户终身价值的关系

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由高等教育出版社出版、汤兵勇与孙天慧教授编写的《客户关系管理（第3版）》一书中讨论了客户终身价值与各影响因素之间的关系，其中与贴现率之间关系的部分并未给出完整的公式推导及演算步骤，在此费点笔墨补全供参考。

教材中给出的CLVCLV计算公式（68页式5.2）如下：

CLV=R[1−1(1+r)n]rCLV=\frac{R\lbrack1-\frac{1}{(1+r)^n}\rbrack}{r}

其中：

  1. CLVCLV: 忠诚客户给企业带来收入的现值
  2. RR: 企业每年从忠诚客户处获得的收入
  3. rr: 贴现率
  4. nn: 客户对企业忠诚的年数

这个公式是怎么得出来的呢？假设企业与客户交易的年数为nn，且每年客户带来的收入为RR，那么只要将RR折算成各年的现值CLVnCLV_n，再将这些现值加总即得到nn年期间内客户的总的终身价值。

CLV=∑i=1nCLVi=CLV1+CLV2+⋯+CLVn−1+CLVn\begin{aligned} CLV&=\displaystyle\sum_{i=1}^nCLV_i = CLV_1+CLV_2+\dots+CLV_{n-1}+CLV_n \end{aligned}

其中CLVi=R(1+r)iCLV_i=\frac{R}{(1+r)^i}，代入上式则有：

CLV=∑i=1nCLVi=CLV1+CLV2+⋯+CLVn−1+CLVn=R(1+r)1+R(1+r)2+⋯+R(1+r)n−1+R(1+r)n\begin{aligned} CLV&=\displaystyle\sum_{i=1}^nCLV_i \\ \\ &=CLV_1+CLV_2+\dots+CLV_{n-1}+CLV_n \\ \\ &=\frac{R}{(1+r)^1}+\frac{R}{(1+r)^2}+\dots+\frac{R}{(1+r)^{n-1}}+\frac{R}{(1+r)^n} \end{aligned}

易知为等比数列，且a1=q=11+ra_1=q=\frac{1}{1+r}

根据等比数列求和公式Sn=a1(1−qn)1−qS_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} 有：

CLV=∑i=1nCLVi=CLV1+CLV2+⋯+CLVn−1+CLVn=R(1+r)1+R(1+r)2+⋯+R(1+r)n−1+R(1+r)n=R(1+r)−1[1−(1+r)−n]1−(1+r)−1=R11+r[1−1(1+r)n]1−11+r=R[1−1(1+r)n]r\begin{aligned} CLV&=\displaystyle\sum_{i=1}^nCLV_i \\ \\ &=CLV_1+CLV_2+\dots+CLV_{n-1}+CLV_n \\ \\ &=\frac{R}{(1+r)^1}+\frac{R}{(1+r)^2}+\dots+\frac{R}{(1+r)^{n-1}}+\frac{R}{(1+r)^n} \\ \\ &=R\frac{(1+r)^{-1} [1-(1+r)^{-n}]}{1-(1+r)^{-1}} \\ \\ &=R\frac{\frac{1}{1+r} [1-\frac{1}{(1+r)^n}]}{1-\frac{1}{1+r}} \\ \\ &=R\frac{[1-\frac{1}{(1+r)^n}]}{r} \end{aligned}

也即上面的5.2式。要知道客户终身价值与贴现率的关系，也即贴现率的变化是如何影响到客户终身价值的，只需求一阶导数CLV′CLV'

dCLVdr=R[1r−1r(1+r)n]′=R[r−1−r−1(1+r)−n]′=R{(r−1)′−(r−1)′(1+r)−n−r−1[(1+r)−n]′}=R{−r−2+r−2(1+r)−n−r−1[−n(1+r)−n−1]}=R[−r−2+r−2(1+r)−n+r−1n(1+r)−n−1]=R[−1r2+1r2(1+r)n+n1+rr(1+r)n]=R[−1r2+1r2(1+r)n+rn1+rr2(1+r)n]=R[−1r2+1+nr(1+r)−1r2(1+r)n]\begin{aligned} \frac{dCLV}{dr}&=R\lbrack\frac{1}{r}-\frac{1}{r(1+r)^n}\rbrack'\\ \\ &=R\lbrack r^{-1}-r^{-1}(1+r)^{-n}\rbrack' \\ \\ &=R\lbrace (r^{-1})'-(r^{-1})'(1+r)^{-n}-r^{-1}[(1+r)^{-n}]'\rbrace \\ \\ &=R\lbrace-r^{-2}+r^{-2}(1+r)^{-n}-r^{-1}\lbrack-n(1+r)^{-n-1}\rbrack\rbrace \\ \\ &=R\lbrack-r^{-2}+r^{-2}(1+r)^{-n}+r^{-1}n(1+r)^{-n-1}\rbrack \\ \\ &=R\lbrack-\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^2 (1+r)^n}+\frac{\frac{n}{1+r}}{r(1+r)^n}\rbrack \\ \\ &=R\lbrack-\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^2 (1+r)^n}+\frac{r\frac{n}{1+r}}{r^2(1+r)^n}\rbrack \\ \\ &=R\lbrack-\frac{1}{r^2}+\frac{1+nr(1+r)^{-1}}{r^2 (1+r)^n}\rbrack \\ \end{aligned}

此式稍显复杂，从Microsoft Math等工具软件生成图形直观的去看可知其小于等于0；从不等式本身看

∵R,r,n,r2,(1+r)n⩾0\because R, r, n, r^2, (1+r)^n \geqslant 0，且 1+nr(1+r)⩽(1+r)n  ⟹  1+r+nr⩽(1+r)n+11+\frac{nr}{(1+r)} \leqslant (1+r)^n \implies 1+r+nr \leqslant (1+r)^{n+1}

当右侧展开多项式后，一定至少存在11、rr和nrnr三项(n⩾1)(n \geqslant 1)

∴1+nr(1+r)−1(1+r)n⩽0\therefore \frac{1+nr(1+r)^{-1}}{(1+r)^n} \leqslant 0

从以上推导过程可知，贴现率与客户终身价值成反比，也就意味着贴现率越高，客户终身价值越小，而贴现率越低，客户终身价值越大。

这一结论在日常生活中的直观感受也得以体现。当贴现率上升时，消费者会愿意将现金存入银行而不是（马上）用于消费，延迟或取消的消费将降低其终身价值；对厂商来说，会倾向于将企业资源更多的投入到储蓄方面而不是用于与消费者关系的维系上（包括促销投入、广告支出、客户服务等），这会使得客户忠诚意愿降低，从而导致客户终身价值的降低。